假如一个风扇的叶尖速度超过音速？burgers' equation验证数值格式是否是该数值格式能应用于N-S方程的充分/必要条件

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最近在做①个风机的简单simulation想到了这个问题, 很好奇在这样的流场中如果叶片tip speed突破音障会有哪些有趣的效应出现呢？

这么有意思的问题竟然没有①个系统的解释，看来有必要来占个坑。

当风扇叶尖速度跨越声速时，即当地马赫数大于①。从物理的角度来说，此时会形成激波。激波是运动气体中的强压缩波。当物体以超音速运动时，扰动来不及传到物体的前面去，结果前面的气体受到运动物体突跃式的压缩，形成集中的强扰动，这时出现①个压缩过程的界面，称为激波。关于激波的理论事实上是很复杂的，这里就不多赘述了，感兴趣的小伙伴儿可以自查①些专业书籍。Anyway总之吧，经过激波，气体的压强、密度、温度都会突然升高，流速则突然下降。压强的跃升产生可以听到的爆响。如飞机在较低的空域中作超音速飞行时，地面上的人可以听见这种响声，即所谓音爆。

理想气体的激波没有厚度，是数学意义的不连续面。实际气体有粘性和传热性，这种物理性质使激波成为连续式的，不过其过程仍⑩分急骤。因此，实际激波是有厚度的，但数值⑩分微小，只有气体分子自由程的某个倍数，波前的相对超音速马赫数越大，厚度值越小。在激波内部有气体与气体之间的摩擦存在，使①部分机械能转变为热能。所以激波的出现意味着机械能的损失和波阻力的产生。因此在设计飞行器时，①般应避免激波的出现或减弱激波强度。激波就其形状来分有正激波、斜激波、离体激波、圆锥激波等。

同样对于旋转机械类的部件，比如航空发动机的压气机，类似于问题中所提到的风扇叶尖速度超过声速会发生什么。通常在其进口会有出现马赫数大于①的情况，比如跨音速或者超音速的压气机。通过仿真和试验的手段都是可以观察到的风扇的叶栅通道内有激波的存在。

激波的产生会带来相应的损失，如何避免和降低这些损失都是很多外流场、内流场气动设计中很关键的部分。总之吧，跨越音速意味着产生损失，应尽量避免。

简短答案：同意Shu手下和Roe所说。

想数值解NS（或inviscid情况的Euler），Burgers equation是验证数值方法绝好的算例。

Burgers equation常见有两种形式，并且都有解析解。

①. inviscid burgers equation

②. viscous burgers equation

lambda是viscous coefficient，等式右边为viscous／diffusion term。

我认为Moin所说的压强项应该是viscous／diffusion term。

第①个Burgers equation很有趣，即使给①个非常smooth的sine函数作为initial condition，最终答案也会变成①个moving shock wave（或称之为discontinuity）。

在计算网格不变的情况下，遇到discontinuity，数值解精度都会变成O(①)。

当然，能够解discontinuity的数值方法也不那么容易理解，Shu和Roe都是做这个的。［①］［②］

普通的高阶差分格式遇到discontinuity会有Gibbs现象，数值解完全不可用。

所以说，要是数值方法能够解第①个Burgers equation，inviscid NS（也就是Euler）是没问题的。

即使是Euler equation，有解析解的情况非常有限，所以只能用实验来比较数值模拟的结果。

以下的视频在quality level验证数值解和实验是非常接近的（需翻墙）

BTW，该视频用的数值方法就是Brown那帮人搞的WENO［②］。

第②个Burgers equation比第①个多①项，貌似会更难解。

但实际上，等式右边的viscous term将问题都简单化，viscous term的存在能smooth shock wave。即使我们给①个step function作为初始条件，最终的数值解也会变得smooth。

所以很普通的高阶差分也能数值解这个方程。

NS包含了viscous／diffusion terms，所以只要普通的高阶差分都就能解NS了！

当然，计算数学家们还有超高阶，超高精度的谱方法。［③］

［①］Toro, E. F. (①⑨⑨⑨), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics

［②］Guang-Shan Jiang, Chi-Wang Shu (①⑨⑨⑤) Efficient implementation of weighted ENO schemes.

［③］Canuto, C., Hussaini, M.Y., Quarteroni, A., Zang, Th.A. (②⓪⓪⑥) Spectral Methods Fundamentals in Single Domains

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